$\vdash$  $\forall$$P$:($\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{P}$\{k\}). $P$(0) $\Rightarrow$ ($\forall$$i$:$\mathbb{N}^{+}$. $P$($i$ {-} 1) $\Rightarrow$ $P$($i$)) $\Rightarrow$ \{$\forall$$i$:$\mathbb{N}$. $P$($i$)\}